du premier ordre d'une seule fonction inconnue. 
Si l’on suppose maintenant que les équations (14) ne sont 
pas résolubles par rapport à et Cg, le résultat de l’élimina¬ 
tion de Ci et Cg du système (14)-(lo) devient une équation 
indépendante àe p et q : 
^ î/, ;?;) = 0. (17) 
Examinons, enfin, la seconde hypothèse, quand l’élimination 
de P et q du système (13) donne les trois relations 
^ CO, 1 / = T (Co CO, = e (Ci, CO. (18) 
Ces trois équations représentent l’élément intégral irrégulier 
et définissent en même temps une nouvelle multiplicité de 
S. Lie, les valeurs constantes (18) de 2 , ij, x vérifiant bien 
l’égalité (10). Il est évident qu’alors l’équation étudiée (11) ne 
dépend plus explicitement de variables p et q, car elle s’obtient 
par l’élimination de C^ et Cg entre les trois équations (18). 
Les considérations citées démontrent qu’il existe trois classes 
de multiplicités dans l’espace à trois dimensions. Elles sont 
caractérisées respectivement par la première équation (12), les 
équations (14) et (18), que nous appellerons lieux géomé¬ 
triques des multiplicités; ils représentent respectivement une 
surface, une courbe et un point. Les multiplicités dans l’espace 
définissent donc des systèmes d’éléments associés quf sont 
répartis sur une surface, ou s’enroulent le long d’une courbe, 
ou passent tous par un seul et même point. Les calculs analy¬ 
tiques exposés précédemment montrent de plus que pour 
admettre les multiplicités, dont le lieu géométrique est une 
courbe ou un point, l’équation (11) doit être linéaire par 
rapport aux variables p et q, ou bien être indépendante de ces 
dernières. 
Donc, une équation aux dérivées partielles (11) à deux 
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