10 — 
nation de la série trigonométrique. Cet important résultat se 
trouve dans son remarquable mémoire : On the conditions that a 
trigonometrical sériés shouid hâve the Fourier form ( Procee - 
dings of the London math. Soc., sér. 2, vol. 9, part 6, 1910). 
M. Young prouve, dans ce mémoire, que toute série trigono¬ 
métrique est une série de Fourier si ses limites d’indétermina¬ 
tion sont bornées et, plus généralement, si l’ensemble des points 
aux environs desquels elles ne sont pas bornées est dénombrable 
(ce qui exige dans ce cas-ci qu’il soit réductible). 
La comparaison des deux énoncés met en évidence ce qui 
appartient à M. Young et ce qu’il y a de neuf dans mon résultat. 
Dans leur ensemble, d’ailleurs, mon travail et celui de M. Young 
sont très différents. 
2. — J’arrive maintenant à ma première remarque. Comme 
je l’indiquais en note au bas de la page 703 du précédent article, 
la condition que le terme général de la série trigonométrique 
1 (y. n cos nx -+- {3 n sin nx) 
ait pour limite 0, c’est-à-dire que a n et (3 W tendent vers 0, ne 
doit être énoncée que pour la seconde partie du théorème 
rappelé au début. 
La seule chose à prouver pour le justifier, c’est que la fonc¬ 
tion 
x z n a* cos nx 4- S„ sin nx 
Fdl-ï-E--^- 
sera une fonction continue sous la seule condition que la série 
trigonométrique soit finie. 11 suffit pour cela de prouver que 
a n et sont bornés dans cette hypothèse. On en trouve déjà la 
démonstration dans un lemme à la page 121 de l’article déjà 
cité de M. Young et d’après lequel a w et sont nécessairement 
bornés si les limites d’indétermination de la série sont finies 
dans un intervalle. 
Je vais établir le résultat suivant, qui est un peu plus précis. 
Si <x n et ne sont pas bornés , les limites A*indétermination de 
