if 
la série trigonométrique ne peuvent être finies que dans un 
ensemble de mesure nulle. 
Mettons la série trigonométrique sous la forme 
S = S p„ cos n (x — y„), 
où p n >0. Le théorème revient au suivant : 
Si la suite p if p 2 , ... n’est pas bornée , les limites d’indétermi¬ 
nation de la série S ne peuvent être finies que pour un ensemble 
de valeurs de x de mesure nulle. 
Montrons d’abord que, x étant donné, ces limites ne peuvent 
être finies que si le terme général de la série 
| p n cos n (x — Y„) I 
est borné quel que soit n. 
A cet effet, écrivons 
p« cos n (x — y J = S„ — S n _i. 
On aura 
ÏTîïï I p n cosrc(Æ — y„> i ^ÏÏïn | S n |.+ Rïn | |. 
n= oo ! 
Donc les limites de S n ne peuvent être finies que si celle du 
premier membre est finie. 
Nous sommes ainsi amenés à prouver que si la suite p ± , p 2 , ... 
n’est pas bornée, la suite 
0) pn COS n (x — Y„), pour n §1,2,... 
ne peut l’être que pour un ensemble de valeurs de x de mesure 
nulle. 
Si p n n’est pas borné, on peut extraire de la suite (1) une 
suite dans laquelle p n va constamment en croissant d’un terme 
au suivant. 11 suffit de démontrer la proposition pour celle-ci. 
Admettons donc que la suite (1) vérifie déjà cette condition. 
