Considérons alors les valeurs de x de l’intervalle (0,2 t:) et 
désignons par E n l'ensemble des points de cet intervalle pour 
lesquels on a 
| P„ cos n (ix — y„) I > V P„, 
c’est-à-dire pour lesquels 
1 
| cos n {x — y„) ; > >— :• 
1 P» 
La mesure de E w tend évidemment vers quand n, et p n avec 
lui, tendent vers l’infini. 
Or p n cos n (x — y J où n croît à l’infini ne peut être borné 
si x appartient à une infinité d’ensemble de la suite 
E 0 E 2 ,... E n ,... 
c’est-à-dire à l’ensemble-limite complet E de cette suite. Mais, 
quelque petit que soit s positif, il y a une infinité d’ensembles 
E„ de mesure > 2 tî — s. Donc (*) l’ensemble-limite E est de 
mesure >2 ti — e, il est donc de mesure 2 tt. L’ensemble complé¬ 
mentaire est, par conséquent, de mesure nulle, C. Q. F. D. 
3. — Voici ma seconde remarque. 
J’ai considéré à la fin du mémoire précédent une série trigo- 
nométrique non identiquement nulle 
(2) X (a„ côs nx sin nx), 
qui, sommée par le procédé de Riemann, converge vers 0 presque 
partout. Cette série est la dérivée de la série de Foarier d’une 
fonction <p [x) qui demeure constante dans chaque intervalle 
contigu à un ensemble parfait E. 
Je me propose de montrer que la série (2) a aussi pour 
somme 0 presque partout par le procédé de la moyenne arith¬ 
métique. 
(*), Borel, Leçons sur les fonctions de variables réelles , p. 19. 
