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COMMUNICATIONS ET LECTURES. 
Analyse mathématique. — Sur la valeur asymptotique de 
la meilleure approximation des fonctions analytiques 
admettant des singularités données, 
par Serge BERNSTEIN Y*). 
1. 11 résulte des propositions générales de mon mémoire (**) 
Sur l’ordre de la meilleure approximation des fonctions con- 
tinues , que le terme principal de la meilleure approximation 
E n (f(x)) de la fonction analytique f(x) sur le segment — 1, —(— 1 
par des polynômes des degrés n dépend, en général, uniquement 
des singularités de la fonction, situées sur la plus petite des 
ellipses liomofocales ayant — 1 et —|— 1 pour foyers. D’une 
façon plus précise, si l’on pose 
f[x) = <p 4 (®) + <p 2 (.r), . (1) 
où ^i{x) admet au moins une singularité sur l’ellipse C ± ayant 
2a pour grand axe, tandis que <p 2 (&) est régulière sur C i et à 
son intérieur, on a nécessairement pour toute valeur de n suffi¬ 
samment grande : 
E *[?2 0*0] < 
O + 1/" 2 — i)* 
( 2 ) 
p étant un nombre fixe inférieur à 1 ; au contraire, il y aura 
t*) Présenté par M. Ch .-J. de la Vallée Poussin. 
(**) Publié par la Classe des sciences de l’Académie royale de Belgique. Deuxième 
série, t. IV. Voir, en particulier, le § 46. 
