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cessivement de signe. Cela prouve que Rfa) est le polynôme 
d’approximation de degré n de —et que l’on a, en effet, 
_ 1 _ 
(« 2 —1)(« + V« — i)"’ (6) 
3. Ceci posé, rappelons une formule qui a déjà été utilisée 
par i\l. de la Vallée Poussin dans une question analogue (*). 
Si /(x) est une fonction analytique régulière sur le segment 
(— I, —|— 1 ), et R(æ)— le polynôme de degré n qui se confond 
avec f[x) aux (n -f- I) points du segment que le polynôme P(&) 
de degré (n -f- 1) a pour racines, on a 
f(x) — R(a?) 
P fa) Ç f(z) dz 
2t ii J fa — x) . P (z) 
( 10 ) 
l’intégrale étant prise le long d’un contour C entourant le 
segment (— 1 , +1) et ne contenant aucune singularité de f(x) 
à son intérieur. 
Dans la suite, P(æ) sera toujours le polynôme donné par la 
formule (8); le polynôme R(æ) sera donc entièrement déter¬ 
miné par la fonction /(&). 
En particulier, dans le cas où f(x) = -^rz~ a ’ on aura 
_1_ R , . = Pfa) f _ Ofa) , 
x — a ^ ri J fa — a) fa — a;) P fa) P fa). fa — a) 
c 
en remplaçant le contour C par un petit cercle C' entourant le 
point a et parcouru en sens inverse, on retrouve ainsi la for¬ 
mule (6). 
■ *) Sur les polynômes d’approximation et la représentation approchée de l’angle. 
(Bull, de VAcad. roy. de Belgique , 1910.) Voir aussi M. Rukge, üeber empirische 
Funktionen, etc. (Zeitschrift fïir Mathematik and Pliysik, 1901.) 
