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que l’on vérifie sans peine en intégrant par partie et en utilisant 
(comme nous l’avons fait pour s entier) les formules (11). 
Ainsi, nous déduisons de l’égalité (10) que, quel que soit s 
(non entier), 
1 
(i a - x) s 
-R(«) 
S+i 
r($). (fl 2 — 1 ) 2 . (a + | /a 2 — 1)" 
et, à cause de (9), nous obtenons finalement 
PO») 
a — x 
E, 
1 
a — x 
s-H 
(») 
f(s). (a 2 — 1) 2 . (a + (/a 2 — 1)” 
C’est la formule qui généralise la formule (5) pour le cas 
de s quelconque. 
E, 
6 . 11 est intéressant de comparer la valeur asymptotique de 
1 v 
a — x 
que nous venons de trouver avec l’approximation 
fournie par le développement 
= A ° + A ÏW®) + - + AffTnC») + - 
en série de polynômes trigonométriques (T w (æ) = cos n arc cos x\, 
arrêté au terme de degré n. Le calcul asymptotique des coeffi¬ 
cients et du reste ne présente pas de difficultés (*); je puis donc 
(*) Dans mon mémoire cité (§ 47, voir aussi le § 52), j’ai exprimé AjJ par une série 
hypergéométrique (aux notations près) : 
4 
(2 a)w + i 
F 
fn- j-1 n-\- 2 
^ 2 ’ 2 
sans avoir remarqué que la fonction hypergéométrique représente ici une fonction 
algébrique et k'ÿ se réduit simplement à 
A(l) 
n n 
Va* — 1. (a + Va2-l) n * 
1913. — SCIENCES. 
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