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fonction des autres variables; cp* ... <p* sont des constantes 
numériques. Nous dirons que les équations (2) définissent, 
dans l’espace des x ± ... x m , variété invariante V m _ a . 
Considérons, enfin, une intégrale (3 - uple 
(3) 
f X ■ ■ ■ d % 
} a + P = m 
J ... = 1 ... m, 
où 21 indique une sommation étendue à toutes les combinai- 
h ... ip , 
sons différentes de 1 ... m pris (3 à (3; les sont des fonc¬ 
tions continues et uniformes de x ± ... x m et t. Remplaçons 
x ± ... x a par les fonctions déduites des équations (2); l’inté¬ 
grale (3) devient 
(4) | X [N^ISM... sog, 
oil les crochets servent à indiquer cette substitution de variables. 
Si l’intégrale (3 - uple (4) est un invariant intégral de 
(5) 
dx 0+i dx m 
[X«+J _ [XJ 
où les crochets ont la même signification que dans l’expres¬ 
sion (4), nous dirons que l’intégrale (3) est un invariant inté¬ 
gral de (1) sur la variété invariante (2). Grâce au théorème 
suivant, on verra que cette définition ne dépend pas du choix 
des variables par rapport auxquelles on résout les équations (2). 
2. Théorème. — Pour que l’intégrale (3) soit un invariant 
intégral de (1) sur la variété invariante (2), il faut et il suffît 
que 
soit un invariant intégral (a -f- (3) - uple de (1). 
