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Démonstration. — Effectuons un changement de variables 
défini par les équations 
fi (*i • • • æ m t) = ^ 
fx(X i ...Xmt) = f, x , 
où les premiers nombres sont identiques aux premiers membres 
des équations (2); les nouvelles variables seront <p A ... 
... x m . 
Représentons par 
(8) f £ )8ja^(....8{aî <3 j 
J U..Ap 
ce que devient l’intégrale (3) après ce changement de variables 
dépendantes (*). 
Les équations (1) deviennent : 
(9) 
düi __ df,, dx^+i dx m 
0 0 _ [Xj5+i] _ [X m l 
Pour que l’intégrale (3) soit un invariant intégral sur la 
variété invariante (2), il faut et il suffit qu’en vertu des équa¬ 
tions (9) 
(10) y ^ I N 4l .. <4 S 8 \x u |... 8 s I 
s’annule, quand, après la dérivation par rapport à t, on remplace 
les variations Scp 1 , ... Bf a par zéro; pour s’en rendre compte, il 
suffira de considérer, dans (8), respectivement un terme renfer- 
(*) Sur ce sujet, on pourra consulter mon travail : Sur les invariants intégraux 
relatifs et leurs applications à la physique mathématique. {Bull, de VAcad. roy. de 
Belgique [Classe des sciences], 1911.) 
1913. — SCIENCES. 15 
