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l’intégration est étendue à une variété A prise arbitrairement 
sur s = £ x . 
Si, à un instant t, le nombre des systèmes dont les phases se 
trouvent dans la variété A divisé par le nombre total des 
systèmes est donné par l’expression (14), la répartition des 
systèmes sera, par définition (*), ercjodique; on aura donc 
0(t n Op i ...OI)^dpi +i ...ùPn 
3 Px 
l’intégration étant étendue à toute la variété s = : e x . 
La répartition des systèmes restera toujours ergodique, puis¬ 
que l’expression (14) est un invariant intégral sur la variété 
invariante s = s x , et, par hypothèse, on ne considère que les 
systèmes dont les phases satisfont à cette dernière équation. 
Nous écrirons l’égalité (15) d’une manière plus abrégée (**) : 
(16) Cw(e x ) = 1. 
Soit l’invariant intégral ou extension en phase 
(17) jo(j i ...î>q n ùj> i ...Zp n 
des équations canoniques (13). Représentons par V (e) « l’exten¬ 
sion en phase en dessous d’une certaine limite que nous appel¬ 
lerons e; autrement dit, l'intégration est étendue (les valeurs 
des coordonnées extérieures étant supposées constantes) à toutes 
les phases pour lesquelles l’énergie est plus petite que e. Nous 
supposerons que la valeur de cette intégrale n’est pas infinie, 
excepté pour une valeur infinie de la limite supérieure e. Y (e) est 
une fonction de e (et des coordonnées extérieures) qui croît d’une 
manière continue avec s et qui s'évanouit pour la valeur la plus 
(*) L. Boltzmann, Leçons sur La théorie des gaz. Seconde partie, 1905, p. 90. 
(**) Paul Hertz, Ueber die mechanischen Grundlagen der Thermodynamik. 
(.Annalen der Physik, Bd XXXIII, 1910.) La présente note offre plusieurs points de 
contact avec cet intéressant mémoire. 
