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Géométrie algébrique. — Sur les involutions de genres un 
existant sur une surface de genres un, 
par Lucisn GODEAUX, docteur en sciences physiques et mathématiques, 
à Morlanwelz (*). 
Dans leur beau mémoire sur les surfaces hyperelliptiques (**), 
MM. Enriques et Severi ont étudié les involutions existant sur 
une surface de Jacobi et plus particulièrement celles de ces 
involutions qui sont de genres un (p a = P 4 == 1). En premier 
lieu, ils ont démontré qu’une involution d’ordre n, dotée d’un 
nombre fini de coïncidences, donnée sur une surface de Jacobi 
ou de Picard (p a == — 1 ? p (j = P 4 = J), est engendrée par un 
groupe de n transformations birationnelles de la surface en 
elle-même, chaque groupe de Pinvolution étant obtenu en 
appliquant les n transformations à un point de ce groupe. En 
ce qui regarde spécialement les involutions de genres un 
(p a = P 4 = 1) sur une surface de Jacobi, ils ont démontré que 
n ne peut avoir comme facteurs premiers que deux et trois et 
que, de plus, on a n < 24. 
Il y a peu de temps, M. Enriques a démontré qu’une involu¬ 
tion de genres un (p a = P 4 = i) et d’ordre n , située sur une 
surface de genres un (pi = P 4 = 1), est engendrée par un 
groupe de n transformations birationnelles de la surface en 
elle-même (***). Au cours d’un séjour de quelques mois que je 
lis à Bologne, M. Enriques m’engagea à rechercher si l’on ne 
pouvait pas limiter le nombre n comme dans le cas des surfaces 
(*) Présenté par M. Neuberg. 
(**) Enriques et Severi, Mémoire sur les surfaces hyperelliptiques (Prix Bordin, 
1907). (Acta Mathematica, 1909, vol. XXXII et XXXIII.) Voir aussi Bagnera et 
De Franchis. (Societa dei XL, 1908.) 
(***) Enriques, Sulle trasformazioni razionaii delle superficie di genere uno. 
(Rend, délia R. Accad. di Bologna, 1909-1910.) 
