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hyperelliptiques. J’ai été assez heureux pour faire faire un 
premier pas vers la solution de cette question et établir préci¬ 
sément que : 
Si entre deux surfaces algébriques F, <ï>, de genres un 
(Pa = P 4 = i), il existe une correspondance (p, 1), où p est 
premier , p peut seulement prendre les valeurs p = 2, p = 3. 
Ce théorème peut s’énoncer d’une manière différente sous 
cette forme : 
S'il existe une involution de genres un et d’ordre premier 
sur une surface de genres un , l’ordre de cette involution ne peut 
être que deux ou trois. 
On en déduit le corollaire suivant : 
S’il existe une involution de genres un et d’ordre n sur une 
surface de genre un, n n’admet comme facteurs premiers que 
deux et trois (*). 
La démonstration que nous donnerons de ce théorème diffère 
sensiblement de celle qui a été utilisée par MM. Enriques et 
Severi pour établir leur théorème sur les surfaces hyperellip- 
tiques. Ces géomètres ont en effet pu utiliser la propriété de la 
surface de Jacobi de représenter les couples de points d’une 
courbe de genre deux et les recherches de M. Bolza sur les 
transformations d’une pareille courbe en elle-même. C’est même 
ce qui a permis à MM. Enriques et Severi de prouver que l’on 
a n < 21, ce que nous n’avons pu faire avec notre procédé. 
Notons d’ailleurs que celui-ci pourrait servir à démontrer que, 
sur une surface hyperelliptique, une involution de genres un et 
d’ordre premier est nécessairement d’ordre deux ou trois. De 
plus, il est probable que notre procédé de démonstration 
pourra aussi s’appliquer à l’étude des involutions de genres 
Pa — P g ” 0, P 2 = P 6 = 1 existant sur une surface également 
de genres p a = p g = 0, P 2 = P 6 = 1. 
* (*) Un résumé de la démonstration de ces théorèmes a été publié aux Comptes 
rendus, séance du 12 août 1912, t. CLV. 
