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Voici maintenant une esquisse de la démonstration du 
théorème énoncé plus haut. 
Je considère une involution I p d’ordre premier p et de genres 
un, sur une surface F également de genres un. Je construis sur 
F un système linéaire ï) de degré N = 2/? 2 (n — 1) et de 
genre n == 2p 2 (tt— 1), invariant pour la transformation T, 
cyclique d’ordre p , qui, d’après le théorème cle M. Enriques, 
engendre l’involution \ p . Cela me permet de construire une 
surface <E>, d’ordre 2/i 2 ( tz — 1), de l’espace linéaire à p(n — 1) + 1 
dimensions, à sections hyperplanes de genre p(n — 1) -f- F 
représentative de l’involution 1^. Sur la surface <l>, en corres¬ 
pondance (1, p) avec F, il existe un nombre fini de points de 
diramation; je démontre que ces points sont doubles. En 
utilisant les formules classiques de Zeuthen et de Zeuthen-Segre, 
je trouve une relation entre le nombre x des points de dirama¬ 
tion, le nombre h qui exprime l’abaissement de la classe de d> 
produit par la présence d’un de ces points, et l’abaissement i du 
genre d’une courbe D assujettie à la seule condition de passer 
par un point de coïncidence de 1^. Je démontre alors que si la 
transformation T équivaut à l’identité dans le voisinage d’un 
point de coïncidence sur F, on a p = 2, et que dans le cas 
contraire, on a p > 2. Cela me conduit à une limite inférieure 
de h , puis à l’égalité h = p et, enfin, à h = p = 3. 
Je rappellerai qu’une surface de genres p a = P 4 = i possède 
tous les genres égaux à l’unité (*) : 
Va = P [i) =Pg = P 2 = P 3 = P 4 = . . . = 1 
et, par conséquent, son invariant de Zeuthen-Segre est 
1=12 p a + 9 — p {l) = 20. 
(*) Voir Enriques, Intorno aile superficie algebriche di genere linearepW = l. 
(Rend, délia R. Accad. di Bologna , déc. 1906.) 
