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Les courbes canoniques et pluricanoniques d’une telle surface 
sont d’ordre zéro. Un système linéaire complet de genre - situé 
sur une surface de genres un a le degré 2 tc — 2 et la dimen¬ 
sion 7i ; il est son propre adjoint. 
1. — Soit F une surface algébrique de genres un (p a = 
P 4 =- !), d’ordre 2 tü — 2, à sections hyperplanes de genre n, 
située dans un espace linéaire Stc à tt dimensions. Désignons 
par |C| le système des sections hyperplanes de F. 
Supposons que sur la surface F, il existe une involution 
de genres un [p a === P 4 = 1) et d'ordre premier p, c’est-à-dire 
une double infinité de groupes de p points telle qu’un point de 
F appartienne à un seul groupe et que l’on puisse établir une 
correspondance birationnelle entre ces groupes et les points 
d’une surface de genres un. 
D’après le théorème de M. Enriques rappelé dans l’introduc¬ 
tion, il existe une transformation birationnelle T de la surface F 
en elle-même, cyclique d’ordre (période) p (T p = i), et pour 
construire le groupe de l p contenant un point donné, il suffit 
d’adjoindre à ce point les p — I transformés au moyen de 
T, T 2 , ...., T*- 1 . 
L’involution I p ne peut présenter, sur la surface F, qu’un 
nombre fini de points de coïncidence, car s’il existait une courbe 
de coïncidence de i p , cette courbe appartiendrait à la courbe 
canonique de F, d’après un théorème de M. Enriques (*). Ainsi 
F aurait une courbe canonique d’ordre supérieur à zéro, ce qui 
est impossible. 
Un point de coïncidence de l p sur F est invariant pour la 
transformation T ; par suite, il est aussi invariant pour les 
différentes puissances de T, et ainsi, compté p fois, ce point 
forme un groupe de 1^. 
(*) Enriques, Ricerche di Geometria sulle superficie algebriche. (Mem. délia R. 
Accad. di Torino, 1893, ser. vol. XL1V.) 
