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4. — Relation entre p, x et h. — Soit x le nombre des 
points de diramation de la surface <X> pour la correspondance 
( 1, p) entre d> et F. 
Considérons un de ces points P' et soit P le point de coïn¬ 
cidence correspondant sur F. Nous désignerons par h l’abaisse¬ 
ment de la classe de la surface produite par la singularité 
que d> aura éventuellement en P', par i l’abaissement du genre 
d’une courbe D 0 assujettie à la seule condition de passer par P. 
Supposons en premier lieu que la surface d> n’a aucune 
singularité en P' (fi = 0). Considérons une courbe P passant 
par P' (courbe de genre p[iz — 1 ] —|— 1 ) et la courbe D 0 corres¬ 
pondante. Entre ces courbes, nous avons une correspondance 
(1, p), et si 8 désigne le nombre des coïncidences sur la 
courbe D 0 , la formule de Zeuthen nous donne 
p 12p (tu — 1)| + 8 = 2p 2 (tu — 1) — 2ï, 
c’est-à-dire 8 = i = 0. Or 8 est certainement supérieur à zéro. 
L’absurdité à laquelle nous sommes amenés provient de ce que 
nous avons supposé que P' était simple pour d>. Cette surface 
possède donc un point multiple en un point de diramation. 
Précisément, elle y possède un point double qui ne peut être 
tacnodal, car l’existence d’un point de multiplicité supérieur 
à deux ou d’un point double tacnodal sur <t> conduirait à l’exis¬ 
tence de systèmes linéaires de dimension supérieure au genre (*). 
Considérons une courbe P passant par P' ; elle y possède un 
point double et par suite son genre est abaissé d’une unité. 
Soit 8 le nombre de coïncidences sur la courbe D 0 correspondante 
à la P choisie. La formule de Zeuthen donne 
p {2p (tu — 1) — 2} -f- 8 = 2 p 2 (tc — 1) — 2 i , 
c’est-à-dire 
8 + % = 2 p. 
(*) Enriques, Introduzione alla Geometria sopra le superficie algebriche. (Mem. 
délia Soc. delle Scienze [detta lei XL], 1896, ser. 3, t. X.) 
