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Mais l’involution d’ordre p existant sur la courbe D 0 envisagée 
est cyclique, donc S est multiple de p — 1 et de plus est pair. 
Par suite, deux cas sont possibles : 
1 
a) S=p — 1, i = -(p + l), 
b) B=2(p —1), i = l, 
le second cas étant seul acceptable lorsque p = 2. 
Dans le cas a, la singularité des D 0 est évidemment com¬ 
posée de points doubles infiniment voisins. 
5. — Calculons l’invariant de Zeutben-Segre des surfaces F 
et <t>, et rappelons-nous que cet invariant est I = 20. 
Sur la surface <î>, nous considérons un faisceau de sections 
hyperplanes T. Un point de diramation abaissant la classe de d> 
de li unités, on aura 
I = 20 = m -f xh — 2p ( 7z — 1) — 4p (tt — 1) — 4, 
m étant la classe effective de d>, c’est-à-dire le nombre des T du 
faisceau considéré ayant un point double en un point simple 
de d>. 
Les courbes D 0 correspondantes à ces F formeront un faisceau 
sur F. A une courbe F ayant un point double en un point simple 
de d> correspondra une D 0 ayant p points doubles en des points 
simples de F. On aura donc, sur F : 
I = 20 = mp + xi — 2p 2 (7r — 1) — 4p 2 (îc — 1) — 4. 
Éliminons m entre ces deux équations. Il vient 
x (ph —- i) = 24 (p — i ). 
Plaçons-nous en premier lieu dans le cas a .(p > 2) : il vient 
æ(2 ph —p — 1) = 48 (p — 1). 
