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6. — La transformation T se confond avec l'identité dans 
le voisinage d'un point de coïncidence. — A un point X i de F, 
la transformation T fait correspondre un point A 2 . Lorsque A 4 
s’approche indéfiniment d’un point de coïncidence P, le point A 2 
s’approche également de P. Deux cas peuvent se présenter : ou 
bien le correspondant d’un point X i infiniment voisin d’un 
point de coïncidence P se confond avec A a , ou bien il en diffère 
généralement. Dans le premier cas, on dira que T se confond 
avec l’identité (ou avec la transformation identique) dans le 
voisinage de P. 
Supposons actuellement que ce premier cas se présente. 
Considérons une courbe C 1? non invariante pour T, apparte¬ 
nant au système invariant jCj, et passant par le point de coïn¬ 
cidence P. A C 1? les transformations T, T 2 , . . . , T p_1 font 
correspondre respectivement les courbes C 2 , C 3 , . . . , C p 
de | C j , passant par P et touchant C 1 en ce point. La courbe 
réductible, invariante pour T, 
Do = C i + C 2 -f-... -f- C p , 
possède en P un point p-upie avec un point p-uple infiniment 
voisin. 
On peut évidemment former de cette manière une infinité de 
courbes analogues à Dq. Soit Dq l’une de ces courbes (différente 
de Do). Les courbes Dq, D"déterminent un faisceau de courbes D 0 , 
invariantes pour T, possédant en P un point p-uple ordinaire. 
D’après l’hypothèse faite, sur chaque branche d’une pareille D 0 , 
il y aura un point de coïncidence d’ordre p (pour l’involu- 
tion cyclique y p existant sur cette courbe) infiniment voisin de P. 
Considérons une de ces D 0 et la courbe T correspondante. 
Soit ij le genre de celle-ci. On a par la formule de Zeuthen : 
p(% — 2) H- p(p — 1) = VO — 1) —p(p — 1), 
d’où 
y = piz — + 2 . 
