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D’autre part, le degré effectif du système linéaire formé par 
les courbes D 0 ayant un point p-uple ordinaire en P, est égal 
à 2p 2 (u -—1) — p 2 . Les courbes T correspondantes à ces D 0 
particulières forment par suite un système linéaire de degré 
effectif 2 p(tt — 1) — p. Mais le degré virtuel % — 2 = 2 pu 
— 4p -f- 2 de ce système est au moins égal au degré effectif; 
par suite, on a 
Q 2p(iz — 2) + 2> p (2 tt — 3), 
c'est-à-dire p = 2 (car p > 1 par hypothèse). Ainsi, lorsque la 
transformation T se confond avec la transformation identique 
dans le voisinage d'un point de coïncidence, on a p = 2. 
7. — La transformation T ne se confond pas avec l’identité 
dans le voisinage d’un point de coïncidence. — Considérons le 
plan tangent à la surface F en un pointde coïncidence P et le 
faisceau de rayons (tangents à F) situé dans ce plan et de 
sommet P. Un rayon d de ce faisceau touche F en P et par 
suite a en commun avec F un point infiniment voisin de P. 
A ce point, T fait correspondre un point également du domaine 
de P, mais différent du premier. Ce point détermine une 
seconde droite du faisceau. Ainsi, T détermine, dans le faisceau 
des tangentes à F en P, une correspondance cyclique. Comme 
on le voit, il y a deux coïncidences d’ordre p — 1 et ainsi 
il y a, dans le domaine de P, deux points de coïncidence, 
soit P 1? P 2 . 
Considérons une courbe C 1 non invariante pour T, apparte¬ 
nant au système invariant ICj, et passant par P et P A (c’est- 
à-dire touchant en P ± une des tangentes unies). Les courbes 
C 2 , C 3 , . . . , Cp de |C|, transformées de C 4 respectivement par 
T, T 2 , . . . , T x> ~ 1 , passent par P et P ± , c’est-à-dire touchent 
C 4 en P. La courbe 
hj = C A + C 2 + • • • + ^ 
