— 322 — 
est invariante pour T et possède en P un point p-uple avec 
un point p-uple infiniment voisin P A . 
De même, on construira une courbe réductible DJ,', invariante 
pour T, ayant en P un point p-uple avec un point p-uple 
infiniment voisin P 2 . 
Les courbes Dq, Dq déterminent un système linéaire, au 
moins simplement infini, de courbes invariantes D 0 ayant en P 
un point p-uple ordinaire. Si nous considérons un point 
s’approchant de P sur une branche d’une pareille D 0 , les p — 1 
points correspondants au moyen de T, T 2 , , T p ~ 1 s’appro¬ 
cheront aussi de P, mais respectivement sur les autres branches 
de la courbe. L’involution y p située sur une pareille courbe D 0 
n’aura donc pas de points de coïncidence. Considérons une 
courbe F correspondante à une D 0 ayant un point p-uple 
ordinaire en P, et dénotons par y son genre. La formule de 
Zeuthen donne 
P(%y — 2) = — 1) — p(p — 1), 
d’où 
y = p* — — i). 
Désignons par |D 1 | le système linéaire formé par les D 0 
ayant un point p-uple en P, par |T 1 | le système correspondant 
sur <ï>. 
Les courbes P A possèdent donc en P' une singularité 
i 
abaissant leur genre de p[iz — 1) i — y = i (p — 1) unités. 
Le degré effectif de |D 1 1 est 2 p 2 (tc — 1) —-p 2 , donc le degré 
effectif de |jTj est 2p(7i — J) — p. Le degré virtuel de ce der¬ 
nier système est d’autre part 2 y — 2 = 2 p(iz — 1) — p -f- 1. 
<t> ne pouvant avoir que des points doubles non tacnodaux, il 
faut donc nécessairement que cette surface ait, en P', une 
singularité composée de - (p— 1) points doubles et d’un point 
simple infiniment voisins. Mais on sait qu’une pareille sin- 
