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gularité abaisse la classe d’au moins unités, donc on 
a/.è'-f’. 
Comparant cette limite inférieure de h aux formules (1) et (2), 
nous trouvons les seuls cas possibles : 
Hypothèse a: p = o, h = 7 ; 
p = 3, h = 6 ; 
Hypothèse b : h = p. 
8. — Rejet de l'hypothèse a. — Les deux cas qui a prioii 
peuvent se présenter dans l’hypothèse a se rejettent séparé¬ 
ment de la même manière. Nous ne ferons le raisonnement que 
dans le premier cas (p = 5, h = l). 
Puisque l’on a h =l, le point P' ne peut être un point 
double uniplanaire, car un pareil point possède trois points 
doubles infiniment voisins et abaisse la classe d’au moins six 
unités (*). Il est alors aisé de constituer la singularité de <ï> en P'. 
Cette surface possède en P' un point double biplanaire auquel 
est infiniment voisin un second point double biplanaire. A ce 
dernier est de nouveau infiniment voisin un point double 
biplanaire ordinaire (c’est-à-dire auquel est infiniment voisin 
un point simple). Mais cela ne peut nous convenir, car nous 
devons avoir sur <I> un système linéaire |l\ | de degré effectif 
2 p(tt — 1) — p= IOtc — 15, les r A étant des courbes F passant 
par PL Or les courbes F (sections hyperplarïes de <ï>) passant 
par un, ou deux, ou trois, ou par les trois points doubles et le 
point simple composant la singularité de <ï> en P f , forment des 
systèmes linéaires ayant respectivement les degrés effectifs 
IOtt— 12, IOtu —14, IOtt—16, IOït — 17. Par suite, le cas 
p = 5, h = 7 ne peut effectivement se présenter. 
(*) Segre, Sulla scomposizione dei punti singolari delle superficie algebriche. 
(.Annali di Matematica, 1897, ser. 2, vol. XXV, p. 12.) 
