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Dans le cas p = 3, h = 6, on trouverait que la surface d> a 
en P' une chaîne de trois points doubles infiniment voisins, 
dont le dernier est conique. 
9. — Limite supérieure de p.— Nous avons déjà établi que, 
lorsque la transformation T se confond avec l’identité dans le 
voisinage d’un point de coïncidence,«on a p = 2. Nous allons 
montrer que, dans le cas contraire, on a p = 3. 
Nous avons vu qu’une courbe D 0 , assujettie à la seule condi¬ 
tion de passer par P, acquiert en ce point un point double. De 
plus, l’involution située sur cette D 0 possède 8 = 2(p— 1) 
coïncidences dans le voisinage de P. Comme cette est 
cyclique, il y a donc deux points de coïncidence (d’ordre p) 
dans le voisinage de P. D’après l’hypothèse faite sur la manière 
d’être de T dans le voisinage de P, ces deux points de coïnci¬ 
dence ne peuvent être que P A , P 2 . Ainsi, les courbes D 0 
assujetties à la seule condition de passer par un point de coïn¬ 
cidence P acquièrent en ce point un point double dont les deux 
tangentes sont fixes. 
Le système linéaire formé par ces D 0 particulières possède 
donc un point-base double et deux points-bases simples (infini¬ 
ment voisins au point-base double). Le degré effectif de ce 
système est donc 2 /> 2 (ti — 1) — 6 et sa dimension est p{iz — 1) 
(puisque celle de |D 0 | est pU — 1) -j- 1). Les courbes F, cor¬ 
respondantes à ces D 0 sur d>, passent par le point double P' 
et forment donc un système linéaire de dimension p{ tz —1) 
et de degré 2/9 (tc — 1) — 2. Mais le degré de ce dernier 
système est aussi égal à celui du système des D 0 passant par P, 
divisé par p , c’est-à-dire à 2/9 (tt — 1) — -. On a donc 
A 
— 4) — - = 2p(tü — l) — % 
c’est-à-dire p = 3. 
