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On a h = p = 3 ; donc en un point de diramation, la sur¬ 
face <ï> possède un point double biplanaire (avec un point 
simple infiniment voisin), car il n’y a qu’une telle singularité 
qui abaisse la classe d’une surface de trois unités. On peut 
d’ailleurs voir autrement qu’un point de diramation P' de <ï> 
est biplanaire. 
Tout d’abord, P ? ne peut être un point double uniplanaire, 
car si nous considérons une courbe D 0 ayant au point de coïn¬ 
cidence P (correspondant à P') un point double avec les tan¬ 
gentes fixes PP A , PP 2 , à chacun des points P lf P 2 , infiniment 
voisin de P, correspondent des points différents dans le voisi¬ 
nage de P' sur d>. Par conséquent, la courbe F, qui correspond 
à la D 0 envisagée, a en P' un point double avec deux tangentes 
distinctes, et par suite P' n’est pas uniplanaire. 
Montrons maintenant que P' ne peut être conique. Pour cela, 
considérons les courbes D 0 passant par P et touchant en ce 
point une direction différente de PP A , PP 2 . Ces D 0 ont en P 
un point triple et coïncident avec les courbes que nous avions 
tantôt appelées Trois points infiniment voisins de P et 
situés sur les trois branches d’une D A forment un groupe de I 3 
et à ce groupe correspond un point du domaine de P'. Par 
conséquent, les F correspondantes aux courbes D x ont en P f 
un point de rebroussement. P' n’est donc pas conique. Par suite, 
ce point est biplanaire ordinaire. 
La formule du n° 15 nous donne actuellement 
x(3 .3 — 1) = 24(3 — 1), 
c’est-à-dire x = 6 (*). Ainsi : 
Si entre deux surfaces T>, F de genres un (p a = P 4 = 1), on 
a une correspondance (1, 3), Pinvoluiion d’ordre trois déterminée 
(*) Notre résumé paru aux Comptes rendus donne, par erreur, dans les dernières 
lignes, x — 8 pour p — 3. Cette valeur ne concorde pas avec les formules précé¬ 
dentes du résumé; le lecteur aura donc facilement corrigé. 
