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sur F est cyclique , la surface <X> possède six points de dirama- 
tion et on peut prendre comme modèle projectif de cette surface 
une surface normale sur laquelle les six points de diramation 
sont six points biplanaires ordinaires . 
12. — Corollaire. — Il nous reste à établir le corollaire du 
théorème fondamental énoncé dans l’introduction. 
Soit, sur une surface F, de genres p n = P 4 = 1, une involu- 
tion l n , d’ordre n, également de genres p rt .= P 4 = 1. 
M. Enriques a établi que l’involution I n est cyclique ou qu’elle 
est composée avec les groupes d’une involution cyclique ï r , 
r étant un diviseur de n. 
Il convient de rappeler ici un théorème bien connu dont nous 
allons faire usage. Si sur une surface algébrique de genres p a , 
p g , P 2 , P 3 , . . . , on donne une involution de genres K a , n g , k 2 , 
tt 3 , . . , on a 
77 g 71 a — Pg Va> ^g — Pg> H 2 — P-4 — 1^4- 
Revenons maintenant à l’involution \ n donnée sur F et sup¬ 
posons en premier lieu qu’elle est cyclique. Alors il existe 
une transformation birationnelle de F en elle-même, T, de 
période n. Soit p un diviseur premier de n, et posons n = pq. 
Soit d> une surface de genres p a = P 4 -= 1, représentant l’invo- 
lution l n . 
La transformation birationnelle T>, de période p , engendre, 
sur la surface F, une involution \ p d’ordre premier p. Soit W 
une surface représentative de cette involution, p a , p g , P 4 respec¬ 
tivement ses genres arithmétique, géométrique et son quadri- 
genre. D’après le théorème qui vient d’être rappelé, on a 
Pg — Pu = 0 > P g — * f P 4 < 1. Remarquons d’autre part qu’à un 
groupe de I n correspondent, sur W, q = ^ points. A l’ensemble 
des groupes de I n correspond donc sur W un ensemble de 
groupes de q points formant une involution l g . La surface d> 
