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est évidemment une surface représentative de cette involution. 
Par suite, on a i < p 0 , i < P 4 ; donc, à cause des inégalités 
déjà trouvées, p a = p g = P 4 = 1. Ainsi donc, nous avons une 
correspondance (1, p), où p est premier, entre deux surfaces W, 
F de genres un [p a = P 4 = ]); par suite, p ne peut prendre 
que les valeurs 2 et 3, ce qui démontre notre corollaire dans le 
cas où l n est cyclique. 
Supposons maintenant que l n n’est pas cyclique, mais est 
composée avec une involution cyclique I'., r divisant n. Soit W 
une surface représentative de 1'., une surface représentative 
de \ n . Comme précédemment, on voit qu’aux groupes de l n 
correspondent sur W des groupes de s = ~ points, formant une 
involution 1" dont <ï> est une surface représentative. On en 
conclut que la surface W a les genres p a = p 0 = P 4 = 1. Par 
suite, r ne peut avoir comme facteurs premiers que 2 et 3, 
puisque I'. est cyclique. 
Si 1'' est cyclique, alors s n’admet comme facteurs premiers 
que 2 et 3, et le théorème est démontré Si I'' n’est pas 
cyclique, on recommence le raisonnement fait dans l’alinéa 
précédent, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on arrive à des invo- 
lutions cycliques. 
De toute manière, on voit que l’on doit avoir n = 2^3 3 , 
a et p étant des entiers positifs ou nuis. 
Le problème qui se pose actuellement et que nous espérons 
pouvoir bientôt résoudre est de trouver des limites supérieures 
pour a et [3. 
Gôttingen, 25 janvier 4913. 
