— 527 — 
Énoncé du théorème sur la série de Fourier. 
Pour quune fonction F (je), sommable et possédant au point X 
une moyenne limite (*), soit fouriérique (**) en ce point X, il 
faut et il suffit que sa moyenne autour de X : 
1 + « 
m== ¥t )mdx, 
x-t 
soit à trépidation nulle. 
La série de Fourier est alors égale à la moyenne limite en X 
de la fonction F(x). 
Dans cet énoncé, nous ne disons pas dans quel intervalle 
(— H, -|- fl) la trépidation doit être nulle. 
C’est que, comme on va le voir, il suffit qu’elle soit nulle 
dans un intervalle choisi comme on voudra (infiniment petit si 
l’on veut) pour que le théorème s’applique et que, par suite, la 
trépidation soit nulle dans tout intervalle où F(æ) est sommable. 
On vérifie immédiatement, par l’emploi du deuxième théo- 
(*■) Moyenne limite = limite pour t = 0 de la moyenne 
Cette moyenne limite existe en particulier pour toute fonction qui est, au point X, 
continue ou de la forme 
F(X + 0) + F(X — 0) 
_ 
Et aussi pour les fonctions qui sont de cette forme, aux ensembles près de mesure 
nulle. 
(**) C’est-à-dire pour que sa série de Fourier converge. 
