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rème de la moyenne (*), qu’une fonction G (t) à variation 
bornée dans (0, t) est à trépidation nulle au point 0 (c’est- 
à-dire dans 0 t, quand t tend vers zéro) (**). Les fonctions satis¬ 
faisant aux conditions du théorème de M. de la Vallée Poussin 
satisfont donc aussi à nos conditions. 
Signalons enfin que notre théorème renferme le suivant : 
Quand la moyenne limite existe, la série de Fourier ne peut 
converger vers une valeur autre que cette moyenne limite . 
Notation. 
n = tout nombre entier, indifféremment. 
1 = tout nombre dont le module est g 1. 
e(t) = toute fonction tendant vers zéro avec t. 
1(z ± z 2 ) = toute fonction indépendante de z ± et de z 2 . 
Démonstration du théorème sur la série de Fourier. 
1° La condition est suffisante. 
En posant 
F(X + 0+F(X - 0 
i/m 
(*; Qu’il nous soit permis de remarquer que le deuxième théorème de la moyenne 
peut toujours être ramené au premier au moyen d’une intégration par parties et 
d’intégrales de Stieltjes. Par exemple, dans le cas qui nous occupe, on a 
a j _ j 
(k cos (KQ . G (t) . dt— sin (KQ . G(0 — jsin (K t) . dG = sin (KQ . G(0 + ^ j \ dG\ 
o oo 
où X représente indifféremment tout nombre dont le module est ^ 1. 
Les intégrales renfermant dG seront des intégrales de Stieltjes si G{t) n’a pas 
de dérivée. 
t 
La dernière intégrale J |dG| n’est autre que la variation totale de Jordan. 
o 
(**) De plus, G(0 étant à variation bornée, aura, pour t > 0 une limite G (0), qui 
sera la moyenne limite de F (x) pour x = X. 
