Les deux intégrales du deuxième membre sont équivalentes 
aux suites de Fourier-Féjer (*) relatives aux fonctions f(t) 
et G (t). 
La première suite convergera vers S [valeur de la série de 
Fourier de f\t), laquelle converge par hypothèse]. 
La deuxième suite convergera vers G(0) [parce que G (t) est 
supposée continue au point t = 0]. 
On obtient donc 
( 2 ) 
Cette relation montre que la série de Fourier de G [t) est 
convergente et a pour somme 
— S + 2G(0). 
Mais puisque G (t) est continue pour t = 0, sa série de 
Fourier ne peut converger (pour t = 0) que vers G(0) (**). 
Donc 
G (0) = — S + 2 G (0) 
et par suite 
S = G(0). (3) 
Les relations (2) et (3) donnent 
r + " — 
1 i sin (KO , /1\ 
-J —y—' W).dt |G(0) + .(-| 
— H 
r + " 
1 | sin (KO 
t f(0* = G (0) + $ VK 
(*) Série de Fourier sommée par le procédé de la moyenne arithmétique. 
Ces suites convergent quand la série de Fourier converge et aussi quand la fonc¬ 
tion est continue. (Voir Cours d’analyse de de la Vallée Poussin, p. 161.) 
(**) Théorème de Féjer. (Voir Cours d’analyse de de la Vallée Poussin, p. 161.) 
