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Ces valeurs substituées dans (1) donnent 
(4) 
Les relations (3) et (4) établissent notre théorème. 
II. — Suites de Féjer. 
Nous appelons suite de Féjer relative à la fonction F (a?) la 
suite des quantités a*, <r 2 ..., <r n ... déterminées par 
Si + s 2 +... + s„ 
n 
où S w est la £omme des n premiers termes de la série de Fou- 
rier de F (as), série pouvant être divergente. 
M. Féjer a montré (*) que cr w tend vers F (X) en tous points X 
F(X + 0) +F(X-O) 
2 
où F(a?) est continue ou de la forme 
Ce théorème a été généralisé par M. Lebesgue (**), qui a 
établi que, lorsque F (a?) est sommable, la suite <r n tend vers 
F(X) « presque partout », c’est-à-dire partout sauf peut-être 
sur un ensemble de mesure nulle. 
M. Lebesgue a démontré pour cela un critère de convergence 
que l’on peut énoncer ainsi : 
« La suite de Féjer relative à F (a?) tendra au point X vers la 
(*) Untersuchungen über Fouriersche Reihen. (Math. Annalen, t. LVIII, p. 51.) 
(**) Recherches sur la convergence des séries de Fourier. (Math. Annalen , 
t. LXI,pp. 274-277. 
