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Cherchons une solution imaginaire; on sait qu’une fonction 
arbitraire f(z), où z~x±yi, satisfait à l’équation (3); 
substituons f(z) clans l’équation (4) : nous obtenons ainsi 
l’équation différentielle ordinaire 
2 ff" + f* = 0 , 
où f', f", f'" représentent les dérivées successives de / par 
rapport à 
L’intégrale générale de cette équation est 
f= (a z -f (B) 5 ' 3 + y, 
où a, (B, y sont trois paramètres arbitraires. La somme de ces 
deux fonctions imaginaires conjuguées , obtenues en remplaçant 2 
successivement par x-\- yi et par x — yi, ne satisfait pas à 
l’équation (4). 
A titre à’exemple, prenons 9 ee=z 5/3 ; les trajectoires seront 
x'=f iji = c, où c est une constante d'intégration; la solution 
générale est donnée par 
y=-h^ it + c ' f+L i 
x =^M +c y+ e - 
quand on prend z = x -\- yi ; c 1 est une nouvelle constante 
d’intégration. 
Considérons c' comme fonction de c; alors, 8c' =^-8c; fai- 
3 c 
sons varier c de X à p, et calculons, au moyen de cette solution 
générale, l’intégrale 
fV<8.» + (W; 
nous obtiendrons un résultat de la forme —|— B, où A et B 
sont des constantes qui dépendent de la courbe considérée à 
l’instant initial. 
