— 619 —. 
Surfaces croissant uniformément 
Milieu plan. — Quels sont les mouvements d’un milieu con¬ 
tinu plan dans lesquels toute aire S 0 , considérée à l’instant 
initial (quelconque), croît uniformément; à l’instant t, cette aire 
vaut S. 
il faut et il suffit que les équations (2) admettent le covariant 
intégrai 2-uple, du premier degré jj bx by, ou que 
s 
| 2 j 9*81, = 0. 
On trouvera d’abord : 
d 
^(bxby) = buby -f bxbv = + -^jbxby. 
La dérivée seconde fournira enfin la condition nécessaire et 
suffisante : 
du dv\ 2 d 2 u d 2 v 
+ 
d 2 u dh' 
- v 4- -- u = 0. 
-f -—- u -]- V 
dx ' dyj dx 2 dy 2 ' dxdy ' dxdy 
Posons 
dx dy 
(p) 
La condition précédente peut s’écrire 
0 2 + u 
30 
dx 
30 
v — 
dy 
o. 0) 
(*) Ce qui exprime que 0 _1 varie proportionnellement au temps : c’est donc un 
covariant fini, du premier degré, des équations du mouvement. Ce résultat est un 
cas particulier du théorème suivant : Si Moæi ... bx n est un invariant intégral ??-uple, 
jjjSj v u. 
et si ... ox n est un covariant intégral w-uple, du |J ième degré, — sera un 
covariant fini, de degré p. 
