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2. — En ce qui concerne les configurations n 4 , je ne crois 
pas que, jusqu’à présent, personne se soit occupé de leur 
étude systématique. On connaît toutefois quelques configura¬ 
tions ?i 4 isolées, à savoir : une configuration 21 4 , découverte 
par F. Klein (*) ; une configuration 45 4 , de W. Burnside ( 2 ) ; 
une configuration 80 4 , de J. de Yries ( 3 ). 
Comme, par chaque point d’une configuration n 4 passent 
quatre droites sur chacune desquelles se trouvent quatre points, 
il est évident que la plus petite valeur de n que l’on doit consi¬ 
dérer, est n = 13. Commençons donc par l’étude de ce premier 
cas. Désignons par E un point de la configuration ; par I, II, 
III et IY, les quatre droites unies à E; par A 4 , A 2 , A 3 , les trois 
points, autres que E, qui sont unis à I ; par B 4 , B 2 , B 3 , ceux qui 
sont unis à II; par C 4 , C 2 , C 3 , ceux qui sont unis à III, et par 
d 4 , d 2 , d 3 , ceux qui sont unis à IV. Par A 4 passent trois droites 
autres que I. Il en est de même pour A 2 et A 3 . D’ailleurs ces 
droites sont distinctes, sinon elles se confondraient avec I. Elles 
sont aussi distinctes des droites I, II, III, IY et forment par 
suite, avec celles-ci, les treize droites de la configuration. 
Cela étant, si l’une des droites issues de A 4 ne passait pas par 
B 1? comme, alors, au plus l’une des droites issues de A 2 et l’une 
des droites issues de A 3 passeraient par B 4 , on n’aurait en B 4 que 
trois droites au plus B 4 A 2 , B 4 A 3 et II. Il faut donc que les 
droites A 4 B 4 , A 4 B 2 , A 4 B 3 , A 2 B a , A 2 B 2 , ..., A 3 B 3 fassent partie 
de la configuration. 
A 4 B 4 devra renfermer encore deux points qui ne peuvent être 
ni sur I ni sur II; ceux-ci s’obtiendront donc en prenant un 
point sur III et un point sur IY, par exemple C 4 et D 4 . Dans 
le tableau schématique, les colonnes qui pourront encore conte¬ 
nir C 4 seront A 2 B 2 , A 2 B 3 , A 3 B 2 et A 3 B 3 . Comme il faut encore 
deux fois C 4 dans ce tableau, on aura le choix entre les deux 
P) Math. Ann., 14, (1879). 
London Math. Soc. Proc., (2), 4, (1906). 
( 3 ) Amst. Versl. en Meded., (3), 6, (1889). 
