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telles que A z B a . entre I et II. Considérons, comme plus haut, 
une droite III (C 4 , C 2 , C 3 , C 4 ) coupant I et II en des points 
diagonaux. Une ligure montrera immédiatement que, s’il n’existe 
pas de triangle A*B*C Z dont les côtés sont diagonaux, auquel 
cas le théorème serait démontré, douze droites de la configura¬ 
tion telles que A,B /t .C z réunissent les droites 1, II et III. Nous 
obtenons ainsi quinze droites de la configuration. Cela étant, 
soit B m C n une diagonale; par chacun des points B m et C n passent, 
outre les droites II ou III, trois droites de la configuration. 
Celles-ci contiennent chacune un seul point de la configuration 
non situé sur I, II ou III. Appelons points K les points, au 
nombre de six au plus, distingués de la sorte. Soit IV (D 4 , D 2 , 
Do, D 4 ) une seizième droite de la configuration. Si l’un des points 
D 1? D 2 , D 3 , D 4 n’est pas un point K, le théorème est démontré. 
Sinon, considérons l’ensemble des droites passant par D 4 , D 2 , 
D 3 ou D 4 . Nous pourrons supposer qu’au moins quatre droites 
D z A a , quatre droites D JB W , quatre droites D p C a appartiennent à 
la configuration, sinon le théorème serait démontré. Par suite, 
nous devons admettre que, parmi les droites passant par D 4 , 
D 2 , D 3 ou D 4 , huit ou plus n’ont pas été comptées antérieure¬ 
ment. Soit Y (E 4 , E 2 , E 3 , E 4 ) une droite de la configuration 
différente des vingt-quatre droites déjà considérées. Y coupera 
1, II, III et IV en des points diagonaux. Comme, en dehors des 
points de IY, il reste au plus deux points K et que sur Y se 
trouvent les quatre points E 4 , E 2 , E 3 , E 4 , il en résulte que 
nécessairement un des triangles tels que E z B m C w aura ses côtés 
diagonaux. Donc le théorème est démontré dès que, parmi les 
droites A z B a , quatre seulement appartiennent à la configuration. 
Supposons ensuite que cinq seulement de ces droites soient 
des éléments de la configuration. Comme plus haut, il sera 
utile de considérer une droite III (C 4 , C 2 , C 3 , C 4 ) coupant I et 
II en des points diagonaux, et l’on s’aidera également d’une 
figure. S’il n’existe pas de triangle A Z B Z U Z dont les côtés sont 
diagonaux, auquel cas le théorème serait démontré, on trou- 
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