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vera qu’il y a lieu de considérer cinq dispositions différentes 
de la figure : pour l’une il existe quatorze et pour les quatre 
autres quinze droites passant par A m , B n ou C p , appartenant 
à la configuration et distinctes de I, II et lü. En comptant les 
droites 1, lï et ilï, nous avons donc dans le premier cas 
dix-sept et dans les derniers cas, dix-huit droites. Dans tous les 
cas, il sera possible de trouver une diagonale A,-C a ou B,G A telle 
que les six droites, autres que I, 11 ou 111 et passant par ses 
extrémités A,- ou B, et C A , contiennent, outre les points de I, 
Il ou 111, sept points de configuration. Procédant dès lors 
comme plus haut, le théorème se trouvera démontré dans les 
cinq cas. 
Ainsi, nous pourrons supposer dans ce qui suit que, parmi 
les droites A z B a unissant les points de I à ceux de II, il y en a 
au moins six qui font partie de la configuration. 
Je dis que si par un point A z - il n’existe qu’une droite de la 
configuration telle que A f B*, ou Je théorème est démontré, ou 
l’on pourra substituer à 1 et II deux droites de la configuration 
se coupant en un point diagonal et telles que par un point A,„ 
de I passent trois droites A w B n , AJE> 7) , A m B a de la configura¬ 
tion. En effet, soit A / B 1 , l’unique droite de l’espèce considérée 
passant par A, ; A ; I} 2 , A;A 3 et A,B 4 seront des diagonales. 
Considérons une droite III (C 4 , C 2 , C 3 , C 4 ) coupant I et II en 
des points diagonaux, Gomme nous l’avons fait remarquer déjà, 
nous pourrons supposer que A,G 1 est une diagonale. Dès lors 
le théorème sera démontré, à moins que C 4 6 2 , G A B 3 et C A B 4 
n’appartiennent à la configuration. Par suite, nous avons deux 
cas à envisager, suivant que de tout point A; ou B A . partent au 
moins deux droites de la configuration telles que A,-B m , A z B n ; 
ou quhl existe au moins un point, A; par exemple, 
par lequel passent les trois droites de la configuration : A,B m , 
A;B n , A;B, r Dans les deux cas, il sera possible de trouver une 
diagonale A^B,. telle que les droites de la configuration, autres 
que I et II et passant par A, et B /f , contiennent au plus 4x2 
