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Dérivons les équations (4) par rapport à t ; on aura 
n a< P« , V d V* dXh • i 
dt k, dt 
doc • 
En remplaçant les ~ par les X,- respectivement, on obtient : 
On démontre en analyse ( ioc . cit.) que ces n relations ont 
lieu quels que soient les t°, t, x x ... x n ; autrement dit, ce sont 
des identités en t°, t, æ 1 ... x n . Il en résulte que Tunique équa¬ 
tion aux dérivées partielles : 
+1 x 
h dœ k 
h 
( 8 ) 
admet n solutions cp x ... y> n des variables t, x 1 ... x n . 
21. !!>éiiaai4i©ea «rassi im’ariiint. — Toute fonction de 
t,x x ...x n qui satisfait identiquement à T équation. (5) et qui 
est holomorphe dans le domaine D est, par définition, un inva¬ 
riant des équations (1). 
Si n invariants de (1) sont tels que leur jacobien par rapport à 
x 1 ... x n est différent de zéro (dans le domaine D), nous dirons 
que ces n invariants du système (!) sont distincts . Avec les 
n invariants distincts ( f>, ... <ï> n , formons les n équations 
... x n ) = x°. .. x° n ) il 1 ... n. 
On pourra en tirer (*) n fonctions holomorpbes (dans le 
voisinage de t°) : 
©U 
x ± . ..x n ). 
{*) Goursat, Leçons sur. .l’intégrâtion des équations aux dérivées partielles dy 
1 er ordre. Paris, 1894, p. 48. 
