1094 — 
Géométrie algébrique. — Sur des involutions appartenant 
à certaines surfaces régulières de genre p (1) = 1, 
par Lucien GODEAUX, docteur en sciences physiques et mathématiques (*). 
Supposons qu’entre deux surfaces algébriques <b, F, qui ne 
soient ni rationnelles ni référables (par une transformation 
Irrationnelle) à des réglées, nous ayons une transformation 
rationnelle (1, n) qui fasse correspondre, à un point de <t>, n[ > 1) 
points de F et, inversement, à un point de F, un et un seul point 
de <b. Les groupes de n points de F qui correspondent aux 
points de d> forment une involution d’ordre n et de dimension 
deux, car un point de F appartient généralement à un et à un 
seul de ces groupes. Lorsque dans ce travail nous parlerons 
d’une involution existant sur une surface, il sera sous-entendu 
qu’il s’agit d’une involution de dimension deux. La surface d> 
sera généralement désignée sous le nom de surface représentative 
de l’involution. Nous supposerons d’ailleurs <f> et F dépourvues 
de courbes exceptionnelles, ce qui, ces surfaces n’étant ni ration¬ 
nelles ni réglées, ne nuit pas à la généralité. 
Les premières recherches sur les correspondances rationnelles 
entre deux surfaces algébriques sont celles faites par M. Painlevé 
à l’occasion de ses études, aujourd’hui classiques, sur les 
équations différentielles du premier ordre ( 2 ). M. Painlevé a 
notamment démontré qu’entre deux surfaces algébriques de 
genres p g > 2, p (1) > 1, il ne peut exister qu’un nombre fini de 
correspondances rationnelles. 
M. Enriques a établi, peu après, que si, sur une surface F, il 
s 
P) Présenté par M. Neuberg. % 
( 2 ) Mémoire sur les équations différentielles du premier ordre. (Annales de 
L’École normale , 1891, [3], VIII; 1892, [3], IX [chap. II, § 9].) . 
