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courbe G et la courbe K correspondante ont s > 1 couples 
communs. 
Une courbe G quelconque rencontre une courbe K également 
quelconque en 2e points, car les courbes G découpent, sur la 
courbe K x correspondant à une courbe G ± , une série linéaire 
dont fait partie le groupe de points communs à C ± et à K ± . 
A une courbe G correspond, sur la surface <I>, une courbe 
elliptique F dotée de s points doubles, correspondant aux 
s couples de points communs à la courbe G et à la courbe K 
correspondante. Getle dernière aura d’ailleurs (n — 2) s points 
doubles (en des points variables). 
Fixons l’attention sur une courbe G générique, soit C 4 , et 
désignons par la courbe K correspondante, par T l la 
courbe T correspondante sur <X>. 
Dans le système continu (non linéaire puisque e> i) jr}. la 
courbe F 2 , infiniment voisine de 1\, découpe sur celle-ci un 
groupe caractéristique. Or, par hypothèse, la série caracté¬ 
ristique d’une courbe F est d’ordre zéro. D’autre part, puis¬ 
qu’il y a 2s points communs à une G et à une K quelconques, 
il y a 2s points de C A dont un correspondant (par l n ) appartient 
à C 2 (courbe C correspondant à F 2 ). Les courbes T lf F 2 ont 
donc 2s points communs. 11 faut, par conséquent, que la 
courbe F 2 , infiniment voisine de F 1 dans Jfj, passe simplement 
par les s points doubles de 1\. 
Soit K 2 la courbe K correspondant à G 2 . K 2 est infiniment 
voisine de K 1 et découpe, sur cette courbe, un groupe caracté¬ 
ristique. Or, d’après ce que nous venons de voir, K 2 passera 
simplement parles (n — 2)s points doubles de K 4 , et rencon¬ 
trera encore cette dernière courbe aux 2e points qu’elle a en 
commun avec C 4 . Il faudra, d’ailleurs, que e des points doubles 
de K ± soient sur G 2 . 
Nous voyons donc que la série caractéristique de est 
d’ordre 2e. Cette série est au moins simplement infinie, car le 
groupe caractéristique de K t que nous connaissons appartient 
à la série découpée sur K t par les courbes G. 
