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Ma is M. Enriques a démontré (*) que la série caractéristique 
d’un système continu, découpée par les courbes infiniment 
voisines d’une courbe du système sur celle-ci, est complète. 
Dans le système complet j K J, il y a au moins oc 1 courbes infini¬ 
ment voisines de K 1? donc {KJ est au moins doublement infini. 
3. — Nous pouvons maintenant appliquer au cas actuel le 
raisonnement fait par MM. Enriques et Severi dans leur 
Mémoire sur les surfaces hypereUiptiques ( 2 ). 
Considérons une courbe K*de jKJ qui ne soit pas la trans¬ 
formée d’une courbe C au moyen de la correspondance (n — 1, 
n — 1) définie par J n . Cette transformation fera correspondre 
à K* une certaine courbe L que nous supposerons irréductible. 
Les groupes de l n , dont un point est sur K*, auront donc 
n i points sur L. 
Faisons varier la courbe K* dans jKJ de manière à ce qu’elle 
tende vers une courbe K A conjuguée d’une courbe C 1 . Alors, la 
courbe L tend vers la courbe [n — 2)K L -f-C 4 . Mais, comme 
MM. Enriques et Severi font montré, cela n’est possible que 
si C A possède des points de coïncidence de l’involution I n . 
Or, cela n’a pas lieu en général, donc la courbe L n’est pas 
irréductible. 
La courbe L doit se décomposer nécessairement en deux 
parties C*, L* (cette dernière réductible ou non). Lorsque K* 
tend vers K 1? C* tend vers C i et L* vers (n — 2)K 1 . Mais 
alors, C*, tendant d’une manière continue vers une courbe Cj 
de | C j, est également une courbe de ce faisceau, car ce dernier 
est évidemment complet (sans quoi F serait rationnelle). La 
courbe L* -(- K* sera alors la transformée d’une courbe C; 
cela est absurde, puisque K* est une courbe totale de jKJ et 
qu’il devrait en être de même de K* -f- L*. 
( d ) Sulla propriété caratteristica delle superficie algebriche irregolari. {Rend, 
délia R. Accad. di Bologna, Dicem. 1904.) 
( 2 ) Loc. cit ., p. 335 (vol. XXXII). 
