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Il faut donc que les courbes soient réductibles. Elles se 
réduisent d’ailleurs à n — 1 courbes, car autrement on recom¬ 
mencerait le même raisonnement sur chaque partie de K sur 
laquelle se mouvraient plusieurs points d’un groupe de I n , et 
l’on parviendrait de même à une absurdité. 
De tout ceci il résulte que si l’hypothèse a peut se présenter, 
c’est-à-dire si les courbes K ne se réduisent pas à n —I cour¬ 
bes C, il existe sur la surface F, outre |C|, n —1 faisceaux 
linéaires de courbes elliptiques jC^, jC 2 |, . . ., IC^I Lors¬ 
qu'un point d’un groupe de ï n décrit une courbe C, les n —J 
autres points décrivent respectivement une courbe de chacun de 
ces n —1 faisceaux. L’involution \ n est cyclique, c’est-à-dire qu’il 
existe une transformation biralionnelle T, de période n, de F en 
elle-même, engendrant I n . On remarquera que les courbes des 
faisceaux ; C 1 1|C 2 j, . . ., 1 C n _ij ne peuvent en général avoir 
des points de coïncidence de I n , de sorte que la courbe D sera 
une courbe fondamentale de chacun de ces faisceaux. 
Ainsi dans l’hypothèse a , l’involution J w est cyclique. Nous 
ferons cependant voir, à la lin du travail, que cette hypothèse 
est inadmissible. 
4. — Hypothèse b. — Supposons actuellement que lorsqu’un 
point d’un groupe de I n se trouve sur une courbe C, tous 
les points du groupe se trouvent sur cette courbe C. En répétant 
un raisonnement que nous avons déjà eu l'occasion de faire 
ailleurs (- 1 ), nous ferons voir que l’involution est cyclique. 
Dans l’hypothèse actuelle, à une courbe C correspond, sur la 
surface <F, une courbe elliptique F engendrant un faisceau |T j. 
Considérons, dans l’espace à trois dimensions de coordonnées 
cartésiennes ( x , y, z), un modèle projectif de <b. 
Soient 
f(pr> y, z) — Xcp (x,.y, z) = 0, x — \y = 0 (1) 
(!) Correspondances rationnelles entre surfaces de mêmes genres arithmétique 
et linéaire. ( Loc . cit § 2.) 
