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les équations d’une courbe elliptique T ; X est un paramètre 
variable et / (xyz), cp (xyz) sont des fonctions rationnelles et 
entières de x, y, z. L’équation de est donc 
xy(xyz) — yf(xyz) = 0. 
Soit H (xyz)4==0 l’équation d’une surface algébrique d’ordre m, 
ayant, avec la courbe (1), m contacts n — ponctuels. U (xyz) est 
une fonction rationnelle et entière, irréductible, de x, y, z, 
dépendant d’ailleurs de X. 
Les équations 
x — ly = 0, f (xyz) — X<p (xyz) = 0, u n == H (x, y, z) (2) 
représentent, dans l’espace (,x , y, z , m ), unecourbe elliptique ayant 
une involution y w d’ordre n , représentable sur F. 
A une valeur de X correspondront plusieurs courbes telles 
que (3), et l’une de ces courbes sera la courbe G appartenant, 
par hypothèse, à une surface F dont nous supposons l’existence. 
Considérons les affîxes de X dans un plan réel R. Lorsque X a 
décrit un contour fermé dans ce plan, les différentes courbes 
représentées par les équations (3) se sont généralement permu¬ 
tées entre elles. Cependant, celle que nous avons appelée C 
doit s’être reproduite, car autrement la surface F n’existerait 
pas. Le même fait doit d’ailleurs se produire pour une circula¬ 
tion quelconque de l’afïixe de X dans R. 
L’existence de F revient donc à l’existence d’un polynôme 
H (x, y y z) dépendant rationnellement de X. Les équations de F 
seront alors 
A un point (x, y , z) de la surface correspondront, sur F, 
les n points 
(x, y y Zy m), (x, y y z , ut), .. . (x, y, z, uz n - L ), 
t étant une racine primitive n ième de Funité. Ces groupes de 
n points engendreront, sur F, F involution I n répondant à Fhy- 
