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fois, de même que C A et C 2 . Et ainsi de suite. Or, nous pouvons 
supposer n impair, car n est premier et le cas n=2 ne présente 
pas d’intérêt. A T 1 correspondraient donc, d’après ce qu’on 
vient de voir, un certain nombre k de courbes à compter chacune 
deux fois. On ne peut avoir 2k = n, donc l’hypothèse c est à 
rejeter. 
De toutes manières, nous voyons que Cinvolution \ n est 
cyclique. 
6. — Nous déterminerons actuellement les surfaces <ï>, F par 
les valeurs de leurs genres et plurigenres. 
La surface est régulière et une courbe de genre tc, tracée sur 
cette surface, a le degré 2 tu— 2. On sait alors ( 1 ) que la surface <ï> 
est de l’un des deux types suivants : 
a) Surface de genres un, caractérisée par les conditions 
p a = P 4 = 1. Les courbes canoniques et pluricanoniques de 
cette surface existent et sont d’ordre zéro. On a p (1) =l, 
p„= p 2 =... = p,--= i. 
b) Surface de genres zéro et de bigenre un, caractérisée par 
les conditions p a = p g = 0, P 6 = 1. On a p g = P 3 = . . . 
= P 2î - +1 = 0, P 2 = P 4 = . . . = P 2î - = 1, p (1) = 1. La surface 
est dépourvue de courbe (2i 1)-canonique et possède une 
courbe 2i-canonique d’ordre zéro. Cette surface a été étudiée 
d’une manière fort complète par M. Enriques ( 2 ). 
La surface F répond aux conditions suivantes : 
Elle est régulière ; 
Son genre linéaire est égal à l’unité : p (1) = 1 ; 
Elle possède un faisceau linéaire | CI de courbes elliptiques ; 
La courbe de coïncidence D de I M se compose de courbes par¬ 
tielles de | C |. (*) 
(*) Sur les involutions n’ayant qu’un nombre fini, etc. ( Loc . ciL [chap. 1].) 
( 2 ) Sopra le superficie algebriche di bigenere uno. (Memorie délia Società deiXL, 
1907, [3], XIV.) 
