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Rappelons que lorsqu’il existe, entre deux surfaces <ï>, F, une 
correspondance rationnelle, M. Enriques (* *) a établi que : 
1° Le genre géométrique, les plurigenres et l’irrégularité de F 
sont respectivement supérieurs ou égaux au genre géométrique, 
aux plurigenres et à l’irrégularité de <ï> ; 
2° La transformée, sur F, d’une courbe i-canonique de <I>, 
augmentée de i fois la courbe I), donne une courbe i-canonique 
de F. 
Supposons, en premier lieu, que d> soit de genres un 
(p a = P 4 = 1). Les genres p g , P 2 , ... de F sont tous supérieurs 
ou égaux à l’unité. On a de plus, par hypothèse, p a = p g . 
La transformée de la courbe canonique de <ï> est, comme cette 
courbe, d’ordre zéro. Par suite, la courbe D est une courbe 
canonique de F. Mais, par hypothèse, D est une courbe isolée, 
donc le genre géométrique de F est p g — 1. 
M. Enriques a démontré qu’une surface de genre p g = 1 et 
dont le quadrigenre est P 4 = 1 possède une courbe canonique 
d’ordre zéro ( 2 ). Or, la courbe canonique de F, c’est-à-dire D, 
n’est pas d’ordre nul, donc on a P 4 > 1. 
Le système quadricanonique de F, qui est |4D|, est donc au 
moins oo 1 . D’autre part, on a p {1) = 1, donc les courbes 4D sont 
composées au moyen de courbes elliptiques d’un faisceau néces¬ 
sairement linéaire, puisque p a = p g - Ce faisceau ne peut être 
que | C |, car les courbes 41) ne peuvent rencontrer les G. Il y 
aura donc quelques parties de D, soient L 4 , L 2 , L & , telles que 
.. . 1 : === * * * -Ci, 
les X 2 , ..., l k étant égaux à deux, trois ou quatre. 
Supposons maintenant que <ï> soit une surface de genres zéro 
et de bigenre un [p a ==p g = 0, P 6 = 1). Les genres et pluri¬ 
genres de F satisfont aux relations p Q > 0, p a = p Q , P 2 > 1, 
P 3 > 0, P 4 > 1, ... , V 2i > 1, P 2 , +1 > 0, .... 
(*) Ricerche di geometria, etc. ( Loc . cit.) 
(*) Intorno aile superficie algebriche di genere lineare = i. (Rend, délia R. 
Accad. di Bologna , Dicemb. 1906.) 
