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Soit, sur <ï>, |A| un système linéaire, |A'| son adjoint. Le 
système |A f — A| n’existe pas. Si A*, A f * sont les trans¬ 
formées des courbes A, A' sur F, | A'* — A* | n’existe pas, 
mais le système |A'*—A*-f-D| peut exister. C’est alors le 
système canonique de F. D étant isolée, ce système canonique, 
s’il existe, sera oo°. Nous sommes donc conduit à faire deux 
hypothèses : 
1° Le système |A'*— A* -f- Dg n’existe pas et le genre 
géométrique de F est donc p g = 0 ; 
2° Le système | A'*-—A* -)- D | existe et on a jo ÿ =l pour F. 
Cette dernière hypothèse conduit, en répétant le raisonnement 
fait tantôt, aux conditions p {[) = p a = p g = 1, P 4 > 1 pour 
déterminer F. 
Plaçons-nous donc dans la première hypothèse. Le système 
|2A'-—2A| et par suite |2A'* - 2A*| est d’ordre zéro. Par 
suite, la courbe 2D est une courbe bicanonique de F. 
La courbe 2D peut être isolée ou non. Si elle est isolée, la 
surface F a son higenre P 2 = 1 et, puisque sa courbe bicano¬ 
nique est d’ordre supérieur à zéro, son sextigenre est P 6 > 1 ( 1 ). 
Si la courbe 2D n’est pas isolée, on a P 2 > 1 et, à fortiori, 
P 6 > 1. Dans tous les cas, le système sexticanonique 16D | 
existe et est au moins oc 1 . 
On a, pour F, p {1) = 1 (par hypothèse) ; le système | 6D | est 
donc composé avec un faisceau de courbes elliptiques. Ce 
faisceau ne peut être que |C|, car les courbes 6D ne peuvent 
rencontrer les C. 
En résumé, nous voyons que la surface F est caractérisée, 
soit par les conditions p (1) = p a = p g = 1, P 4 > 1, soit par les 
conditions p {1) = 1, p a — p g = 0, P 6 > 1 (P 2 >1). 
Si F est caractérisée par p {1) = p a = p fJ ■== \, P 4 > I, est 
caractérisée par p a = P 4 = I ou par p a = p g = 0, P 6 .= 1. 
Si F est caractérisée par p il) = 1, p a = p a = Ü, P 6 > J, <î> est 
caractérisée par p a = p G = 0, P 6 = 1. 
( d ) Enkiques, Superficie di bigenere uno. (. Loc . cit.) 
