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7 . — Nous avons démontré que l’involution ï n est toujours 
cyclique, c’est-à-dire qu’il existe une transformation biration- 
nelle T, de F en elle-même, de période n, engendrant l’involu- 
tion. Il nous reste à faire une dernière remarque. 
Retournons aux trois hypothèses faites au début de ce travail. 
Nous avons vu que l’hypothèse c doit être rejetée. Dans 
l’hypothèse a , la transformation T et ses puissances successives 
transforment | C | en des faisceaux 1CJ, ..., |C n J qui tous 
admettent la courbe D comme courbe fondamentale. 
Considérons, par exemple, le système sexticanonique 16D | 
de la surface F. Ce système est, quelle que soit F, au moins oc 1 , 
puisqu’on a toujours P 6 > 1. 
Une courbe 6D, qui est composée de quelques courbes C, est 
transformée par T en une courbe sexticanonique (distincte ou 
non de la première). Or celle-ci sera, d’une part, composée de 
courbes C, d’autre part, composée de courbes C A . Il faut donc 
que-1 C | et j C 1 1 coïncident. 
En continuant de même, on démontrerait que les n faisceaux 
|C|, \C i \: f ,..., ]C w-1 1 doivent coïncider. Cela infirme l’hypo¬ 
thèse a. 
L’hypothèse h subsiste donc seule, c’est-à-dire que : 
La transformation T change une courbe C en elle-même. 
On remarquera l’analogie de ce résultat avec celui que nous 
avions obtenu en considérant les correspondances rationnelles 
entre deux surfaces de mêmes genres linéaire et arithmétique. 
Liège, le 20 septembre 1913. 
