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Analyse mathématique.— Sur la fonction ç (s) dans le voisinage 
de la droite a- = \ 
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par H. BOHR, à Kôbenhavn, E. LANDAU, à Gôttingen, 
et J. E. LITTLEWOOD, à Cambridge (England) (‘). 
Dans ce travail, nous allons développer, dans des directions 
assez voisines, trois conséquences de l’hypothèse de Riemann 
que tous les zéros non réels de la fonction Ç(s) ont leur partie 
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réelle égale à -. Les trois chapitres sont principalement l’œuvre 
de Bohr pour le premier, Landau pour le second, Little- 
wood pour le troisième; le tout s’expose le mieux dans Tordre 
indiqué. 
CHAPITRE PREMIER. 
Amélioration de la formule de Riemann- von Mangoldt 
pour N (T). 
§ 1 . - PROBLÈME ET LEMME. 
Soit N (T) le nombre des racines p de la fonction Ç(s) dans la 
bande 0^ 1, dont l’ordonnée satisfait à 0 ^ t 5g T. 
Riemann a présumé, en dehors de l’hypothèse que tous les 
l 
p ont leur partie réelle égale à -, cette autre relation : 
1 14- log 2 tt 
( 1) N (T) = —T log T - T + O (log T). 
Il est très remarquable que M. von Mangoldt ait réussi 
à démontrer cette formule (I), tandis qu’on ne sait pas même 
aujourd’hui (19 novembre 1913) si l’autre hypothèse est juste. 
Nous démontrerons dans ce chapitre le premier fait pour 
( d ) Présenté par M. Ch. de la Vallée Poussin. 
