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ainsi dire qui dépasse quantitativement les présomptions de 
Riemann, tout en restant dans son ordre d’idées, savoir le 
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Théorème : Si tous les p ont leur partie réelle égale à -, on a 
1 1 I loff ^TU 
(2) N (T) = ^ T log T - ^ - T + o (log T). 
Parce que le terme complémentaire o(logT) est plus faible 
que la dérivée ~ log T — du terme principal ^ T log T 
— -- l° g27r T, cette formule (2) nous permet, pour tout S > 0, 
de déterminer asymptotiquement le nombre des p dont l’ordon¬ 
née appartient à un intervalle de longueur 8 ; en effet, (2) 
donne 
|im N('.' + S) -N(D _ l g . 
T=oo log T 2 TC 
Avant de commencer la démonstration du théorème indiqué, 
nous allons établir le 
Lemme : Dans P hypothèse de Riemann, on a , pour tout 
8 > 0 , 
lim sup 
T=oo 
N(T + 8)-N(T) ^. 
log T 
En d’autres termes : Pour tout A > l, on peut choisir un 
t = t(8, A) tel que, si T > t, 
N(T + 8) — N (T) < A8 log T. 
Ce lemme n’est pas une conséquence de la formule connue (1); 
celle-ci ne saurait évidemment apprécier N (T -f- 8) — N (T) 
mieux que par B log T, vu le dernier terme O (log T) de (1). 
