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Démonstration du îcmme : Il est connu depuis long¬ 
temps que, T parcourant les valeurs positives à l’exception des 
ordonnées des racines (*), 
1 14- log 2 tt 1 
(3) N (T) = — T log T - ^ T+ 0(1)+- Q(T), 
ou 
;+t i 
(4) Q(T) = 3 
On sait, d’autre part, que 
J 
2-fTi 
1 
1 
Ç(s) s —1 2 B/s 
r' s + i 
r lî-+‘ 
I 
P 
donc 
I , A 
« Ç - 
P ?J £(*) 
è + 
s — 1 + 2 
-1 
P P 
1 F ' 2 + 1 
r l i + 1 
Soit, dans l’hypothèse de Riemann, logÇ(s) la branche 
i i 
uniforme dans le demi-plan <r > - découpé de 1 à - , qui est posi- 
A A 
tive pour s > 1. 
D’après un théorème de Littlewood ( 2 ), dont nous ferons 
. ii , s 
souvent usage, on a, pour o-fe - -, 
log £(*) = o (log t), 
donc, pour 8, 
r>( s ) 
g ) xèyi 0(log °- 
(*) Jusqu’à nouvel ordre. T est soumis à cette restriction. 
( 2 ) Quelques conséquences de l’hypothèse que la fonction Ç(s) de Riemann n’a 
1 
pas de zéros dans le demi-plan R + > p- 264. (Comptes rendus hebdomadaires 
A 
des séances de l'Académie des sciences. Paris, t. CLIV. 1912, pp. 263-266.) 
