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Ceci étant démontré pour T évitant les ordonnées des p, 
c’est vrai pour T croissant continûment. 
§2. - DÉMONSTRATION DU THEOREME. 
Soit 8 fixe et 0 < 8 < 1. Soit de nouveau, jusqu’à nouvel 
ordre, la droite t == T exempte d’ordonnées des racines p. 
Alors, dans l'hypothèse de Riemann, on a, d’après (7), 
|+^+Ti 
(il) jj ^gUâo(logT). 
& 
2+T i 
D’après (5) et (8), 
( 12 ) 
3 
r ç'(* 
J KO 
^0(l) + 5 logT + 0(-l) + 
2+0+T i 
9 ? 
1 1\ 
- 1 — ) ds 
~ P 
Nous décomposons la somme sous la dernière intégrale en 
-f- E 2> où H 1 se rapporte à | T — y j ^ 1, S 2 à | T — y j < 1. 
On sait (*) qu’il existe une constante absolue B telle que, pour 
s = * + t »:,% t > % 
s — P 
< B log ï. 
Donc, pour T > 2, 
(13) 
t+T* 
3 
J 
< 8 Blog T. 
4+ 5 +t i 
(*) Voir Landau, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Prmzahlen, 1909, 
p. 339. 
