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dans le domaine 1 ^ t ^ T, où T > 1 ; on verra tout à l’heure 
que ce nombre est fini pour tout T > 1. L’objet de ce § 4 est 
même de démontrer un résultat aussi précis que le fait 
N (0, T) = ^ T log T - !±i^ T + O (log T), 
établi par la formule (1) de M. von Mangoldt. Nous allons 
démontrer (même sans l’hypothèse deRiemann) que 
1 a~ T lo 8 T — ~ ~ T' 8 — T + O (log T) pour «4=1. 
(22) N (a, T) = | * 1 + J 4m 
f — T log T —--1 -\- O (log T) pour a = 1. 
\ a TC JjTï 
Lemme s •. Étant donné un nombre réel <», il existe un 
E — E( (*>) tel que , dans le demi-plan a- ^ — E, dont on a écarté 
les cercles js + 2|<^, | s + 4 |.'< i, | s + | < |, ..., 
tant qu’ils en font partie , on ait 
l?(«)ï >w. 
En d’autres termes :* Dans le plan moins les cercles 
|s + 2<7 f< | (qf± 1, 2, 3, ...), on a 
lim | Ç(s) | | oo. 
<7= —oo 
Démonstration : 11 suffît évidemment de considérer les 
t |g 0. On a 
S(S) 1 |( 2 ÏP sin ~ T(1 - s) Ç (1 - s), 
d’où, pour a- < — \, 
(23) 
|Ç(*)lè 
(27t)‘- 
. S TC 
sm — 
2 
r(i — *) 
Cj désignant, comme c 2 ... dans la suite, une constante positive 
absolue. 
