cela veut dire que le cercle (de rayon r) ayant s 0 = E' -f- (^T-f- 
pour centre et passant par ^ -f- o + Ti et ^ -f- 8 -f' (T -(- l)i ne 
rencontre pas la droite <r = ^ 
.Z 
1 S 
Pour cr on a, d’après le théorème de Littlewood, 
Ç(s) = e oaogt) = t od) f 
donc 
|s(s) — a | ^ t 0(l) -f- \ a | < t 0{ *K 
D’après un théorème de M. Jensen ( 1 );, le nombre des 
racines de (26) dans le cercle 
\s — s 0 \^r 
est, pour T + - > R (cette inégalité est suffisante pour que le 
cercle \s — *oi ^ R appartienne au domaine de régularité de la 
fonction), non supérieur à 
log 
M 
m 
où M désigne le maximum de |Ç(s) — a j pour \s — s 0 |^R 
1 § 
= E'— - — -, m la valeur de | Ç(s)— a | pour s = s 0 . On obtient 
donc, 
l 
£0) - a 
étant, à cause de (30), borné sur <r = E', et le 
cercle | s — s 0 1 ^ r renfermant le rectangle - o ^ a- ^ E', 
Tfg t ^ T -f- 1, que le nombre des racines de ce rectangle est 
A \o ( 1 )' 
log( 0(1)(T+-+R 
, R 
°8 — 
o (log T). 
Le théorème est ainsi prouvé. 
(*) Voir p. ex. p. 900 du mémoire de Landau, cité dans ia dernière note. 
