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Corollaire (*) : Le nombre des racines de (26) dans le 
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domaine a- - -f- B, — T < t T est, dans l’hypothèse de 
Riemann, o(T log T). 
Théorème priueipai : Soient a un nombre complexe, 
rhypothèse de Riemann vraie et B > 0. Désignons par <L(æ) le 
nombre des racines de 
( 26 ) 
dans le cercle | s\ <^ x r par *F(æ) le nombre des racines dans ce 
cercle qui appartiennent, en outre, à la bande 
Alors 
1 . 1 , 
- — o < u < - + 8. 
’EO») , 
lim ^ = 1. 
^=00 
Démonstration : On peut supposer S < Le nombre des 
I 
racines p dans le domaine <7=^--^ B, \s\^x est, d’après le dernier 
corollaire. 
V 
( g + 8 
log 
V-G 
+ B J = o(x log x). 
Le nombre des racines dans le domaine cr rg — E, | s | ^ x est 
0{x). Pour — E fg <7 ^ ~ — B, on sait que |'Ç(s) | tend unifor¬ 
mément, avec \ t\, vers l’infini, de sorte que le nombre des 
racines de (26) dans cette bande est fini; ce fait relatif à |Ç(s) j 
(*) Nous ne manquons pas d’observer qu’un travail de Bohr et Landau, sous 
presse dans les Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, contient un théorème 
général assez profond sur les séries de Dirichlet, fournissant le corollaire 'mais 
pas le théorème que nous venons de démontrer) et beaucoup plus (0(T) au lieu de 
o(Tlog T), même sans l’hypothèse de Riemann). 
